Stelling van Thales:

thales

Voor het bewijs mag je in klas 3 gebruik maken van de volgende stelling (gelijkbenige driehoek) :
- In een gelijkbenige driehoek zijn de hoeken tegenover de even lange zijden even groot.
- Als in een driehoek twee hoeken even groot zijn, dan zijn de tegenoverliggende zijden even lang.

Stelling van Thales
 Als een punt P op een cirkel c ligt met middellijn AB, dan is hoek ∠APB = 90º.

Gegeven:
Cirkel c met middelpunt M op middellijn AB, dus MA = MP = MB

Te bewijzen:
∠APB = 90º. 

Bewijs:
∠MAP = ∠MPA = α  want  ΔMAP is gelijkbenig
∠MPB = ∠MBP = β  want ΔMPB is gelijkbenig
Er geldt α + α + β +β = 2α + 2β = 2(α + β) = 180º (want ΔAPB heeft samen 180º)
Dus α + β = 90º = ∠APB
Hetgeen bewezen moest worden.

Omgekeerde steling van Thales

Thales omgekeerd

Let op: verschillende bronnen zijn niet eenduidig welke stelling nu de stelling van Thales is, en welke de omgekeerde stelling van Thales. Een ding is zeker: ze zijn elkaars omgekeerde!

Omgekeerde stelling van Thales
Als in ΔAPB geldt dat ∠APB = 90º dan ligt P op de cirkel met AB als middellijn.

Gegeven:
 ∠APB = 90º en M het midden van AB

Te bewijzen:
P op cirkel met middellijn AB

Bewijs (uit het ongerijmde)

Stel P buiten cirkel, dan snijdt PB de cirkel in punt Q Volgens Thales geldt dat ∠AQB = 90º en dus ook ∠AQP = 90º (samen gestrekte hoek) Dan ∠APQ < 90º (scherp) hetgeen in tegenspraak is met het gegeven dat ∠APB = 90º Dus P buiten de cirkel kan niet,

Stel P binnen cirkel, dan snijdt het verlengde van BP de cirkel in punt R Volgens Thales geldt dat ∠ARB = 90º, dan ∠APR < 90º en ∠APB > 90º (stomp) hetgeen in tegenspraak is met het gegeven dat ∠APB = 90º Dus P binnen de cirkel kan ook niet.

Als P kan niet buiten de cirkel kan liggen, ook niet binnen de cirkel, dan moet P wel op de cirkel liggen.
Hetgeen bewezen moest worden.

Stelling: Omtrekshoek

omtrekshoek

Voor het bewijs mag je in klas 3 gebruik maken van de volgende stelling (gelijkbenige driehoek) :
- In een gelijkbenige driehoek zijn de hoeken tegenover de even lange zijden even groot.
- Als in een driehoek twee hoeken even groot zijn, dan zijn de tegenoverliggende zijden even lang.

Stelling.
Een omtrekshoek is gelijk aan de helft van de middelpuntshoek die op dezelfde boog staat.

We onderscheiden drie gevallen.

Geval 1 Gegeven: - A, B en P op cirkel c met middelpunt M - PM snijdt c in punt S - geval I dat S op de rand van boog AB valt (S en B vallen samen) Te bewijzen: ∠AMB = 2×∠APB Bewijs: Noem ∠APM = γ dan is ook ∠MAP = γ (want ΔAPM gelijkbenig) Dan is ∠AMP = 180 - 2γ (somregel driehoek) Dan is ∠AMB = 2γ (gestrekte hoek) Hetgeen bewezen moest worden.

Geval 2 Gegeven: - A, B en P op cirkel c met middelpunt M - PM snijdt c in punt S - geval II dat S binnen boog AB ligt Te bewijzen: ∠AMB = 2×∠APB Bewijs: Noem ∠APS = α dan is ∠AMS = 2 α (bewezen in geval 1) Noem ∠BPS = β dan is ∠BMS = 2 β (bewezen in geval 1) Nu is ∠AMB = ∠AMS + ∠BMS =  2 α + 2 β = 2( α+β ) = = 2×(∠APS +∠BPS ) =  2 ×∠APB hetgeen bewezen moest worden.

Geval 3 Gegeven: - A, B en P op cirkel c met middelpunt M - PM snijdt c in punt S - geval III dat S buiten boog AB ligt Te bewijzen: ∠AMB = 2×∠APB Bewijs: Noem ∠BPS = α dan is ∠BMS = 2 α (bewezen in geval 1) Noem ∠APS = β dan is ∠AMS = 2 β (bewezen in geval 1) Nu is ∠AMB = ∠AMS – ∠BMS =  2 β -2 α = 2( β - α) = = 2×(∠APS -∠BPS ) =  2 ×∠APB hetgeen bewezen moest worden.